TFY4107 Fysikk
På denne siden presenterer jeg mine tanker og tolkninger rundt faget Fysikk. Informasjonen på denne siden baserer seg på nettboka Openstax, diskusjoner med medstudenter og forelesninger fra NTNU.
Emnebeskrivelse
Fysikk var en av de “lettere” fagene jeg hadde 3 semester. Det var en flervalgseksamen for oss, så her er det bare å dunke eksamenssett. Personlig var jeg litt dårlig på å følge med på pensum underveis, men lagde en liten oversikt på slutten av semesteret. Det er litt enklere å begynne med oppgaver hvis man kan litt om det som er pensum i alle fall.
Temaer
Fysikk basics
Her det litt basic fysikk som forventes at man kan før man starter på det som egentlig er pensum.
Skalarprodukt
Vektor-dekomponering
Bevegelsesligningene
Vektorer
Bevegelseslære i 2- og 3 dimensjoner
Denne delen handler om å beregne bevegelsen til et objekt selv når objektets bane ikke er en enkel rett linje. Dette vil inkludere å utvikle ferdigheter i bruk av grunnleggende vektorregning for å løse praktiske utfordringer og situasjoner.
Nøkkelord: Kastebevegelse, uavhengighetsprinsippet og sirkelbevegelse.
Kastebevegelse
Legg merke til hvordan fartsvektoren er en tangent til banen, den peker i legemets bevegelsesretning. Akselerasjonsvektoren derimot peker ikke langs banen.
Bevegelsesligningene for en kastebevegelse
Uavhengighetsprinnsippet:
Bevegelsen i horisontalretningen påvirker ikke av tyngdekraften G. Hastigheten i horisontalretningen forblir konstant til tross for G.
Sirkelbevegelse
Retning på akselerasjonen
Eksempel
Newtons lover
Newtons 1. lov
Summen av kreftene som virker på et legeme som står i ro eller har konstant fart er 0.
Newtons 2. lov
Summen av kreftene som virker på et legemet er lik legemets masse ganget med akselerasjonen.
Newtons 3. lov
For enhver kraft F som virker på A, finens det en like stor, motsatt retter motkraft fra B til A.
Væske- og luftmotstand
Laminær strømning i væske og luft (lav fart)
ƒ = kv
Turbulent strømning i væske og luft (høy fart)
ƒ = kv²
k sier noe om
- Legemets overflate areal A
- Luftas/væskas massetetthet ρ
- Dragkoeffisienten Cd: Legemets form
k =½ * A * ρ *Cd
ƒ = ½ * A *ρ * Cd* v²
Stokes lov
Stokes’ lov sier at dragkraften (F) som virker på et objekt som beveger seg gjennom en viskøs væske, er direkte proporsjonal med objektets hastighet (v), viskositeten til væsken (η) og objektets radius (r). Matematisk uttrykkes det som følger:
F = 6πηrv
Hvor:
- F er dragkraften på objektet.
- η (eta) er viskositeten til væsken.
- r er objektets radius.
- v er hastigheten til objektet i forhold til væsken.
Det er viktig å merke seg at Stokes’ lov bare gjelder for veldig små, kuleformede partikler.
Bevaring av mekanisk energi
Nøkkelord: mekanisk arbeid, arbeid og energi, kinetisk energi, effekt og potensiell energi
Mekanisk arbeid
Definisjon av mekanisk arbeid W
Mekanisk arbeid utført av en konstant kraft F over en forflytning Δr.
Mekanisk arbeid utført av en variabel kraft. Vi ser på kraften som blir påført på en veldig liten forflytning dx mellom startpunktet x1 og sluttpunktet x2, da tilnærmes krafta å være konstant.
Arbeid og energi
Kinetisk energi:
E_k =½ mv²
Endringen i den kinetiske energien hos et legeme tilsvarer det mekaniske arbeidet utført på legemet. Arbeid-energi setningen gir oss da
W = ½ mv1² – ½ mv2² = ΔE_k
Effekt
Effekt = mekanisk arbeid / tid
P = dW / dt = J/s = Watt
Enheten til effekt er kWh, kilo Watt per hour. På 1 time produserer du 1 kW.
W = p · t
Potensiell energi
Et legeme med masse m ved en hlyde h over et valgt nullpunkt har den potensielle energien E_p:
E_p = mgh
Av arbied-energi setningen får vi at
W = G · h · cos 180° = -G · h = -Δ E_p
Hvis vi kombinerer denne med den tidligere arbeid-energi-setningen får vi en viktig sammenheng:
W = ΔE_k = – ΔE_p
Av dette får vi loven om bevarelse av mekanisk energi:
m·g·h0 + ½ ·m·v0² = m·g·h + ½ ·m·v²
Støtprosesser
Nøkkelord: fjærkraft, bevegelsesmengde/massefart og impuls
Fjærkrafta
Bevegelsesmengde
Impuls og kollisjoner
Impulser er endring i massefarten/bevegelsesmengden. Når en kraft virker på massefarten til et legemet, sier kaller vi denne endringen for impulsen I.
Bevarelse av bevegelsesmengde (massefart)
Vi har to typer støtprosesser; elastisk støt og uelastisk støt.
Et sentralt støt: støtet foregår langs en rett linje.
Uelastisk støt: den totale kinetiske energien er ikke bevart, noe av energien går over i andre former for energi. Etter en uelastisk kollisjon, beveger objektene seg som et felles enhet, ofte med hastigheten redusert.
Elastisk støt: den kinetiske energien før og etter støtet er bevart.
Rotasjonsmekanikk
Nøkkelord: vinkelfart, vinkelakselerasjon, treghetsmoment, steiners setning, dreiemoment og beregning av massesenter (CM)
Grunnleggende ting i rotasjonamekanikken
Stive legemer: endrer ikke form når de roterer
En forflytning i rotasjonsmekkanikk er sirkelformet, og gis ved vinkelforflytningen θ (radianer) langs sirkelbuen.
Oversettelse fra bevegelsesligningene fra lineær bevegelse til rotasjonsbevegelse
Treghetsmoment og kinetisk energi under en rotasjonsbevegelse
Vi bruker often I som symbol for treghetsmomentet, jeg har også brukt I for impulsen, så vær litt obs på det, slik at du ikke blander de to:)
Treghetsmoment: en egenskap som beskriver hvor vanskelig eller enkelt det er å endre rotasjonshastigheten til et objekt når en kraft blir påført. Enheten er kgm². λ
Treghetsmoment for et system av punktpartikler
Treghetsmoment for en kontinuerlig massefordeling
Treghetsmomentet for en solid skive/sylinder (bruk av polarkoordinater)
Tidligere har vi funnet treghetsmomentet til en stav eller partikkel, nå skal vi ved hjelp av polarkoordinater finne I til skiver og sylindere. Vi begynner med et eksempel.
Steiners setning
Steiners setning er et teorem som gir en metode for å beregne treghetsmomentet til et objekt i forhold til en parallell aksel som går gjennom objektets massesenter.
Dreiemoment
Beregning av massesenter (CM)
Først skal vi se på hvordan vi finner CM i et 1-dimensjonalt system.
Rullende stive legemer
Kastebevegelse
Vi deler en kastebevegelse inn i to deler:
- Endringen i posisjon av massesenteret (CM), massesenteret følger en parabelbane. Her brukes Newtons 2. lov
∑ F = ma
2. Rotasjonsbevegelse rundt massesenteret, altså at selve objektet spinner rundt seg selv. Her brukes Newtons 2. lov om rotasjon
∑τ = Iα
Dreieimpuls
Dreieimpuls, vanligvis betegnet som L, er et mål for en gjenstand rotasjonsbevegelse rundt en akse. På bildet under ser du en ball som treffer en vegg festet til en rotasjonsakse. Når ballen treffer veggen, vil den rotere mot venstre. Vi sier ballen har en dreieimpuls i forhold til veggen. Enheten er kgm²/s.
Ballen har en konstant fart som fører til en konstant massefart:
p = mv
Ballen treffer veggen med en distanse på r fra aksen.
Bevarelse av dreieimpuls
Ideelt vil systemet vi ser på ikke bli påvirket av ytre krefter. Altså
ΔF_y = o, slik at τ = 0
Spinnsatsen vil da være
ΔL = τ · Δt = 0, altså L er bevart.
Dette fører til at systemet kun har en egenspinn.
L = Iω
Harmoniske svingninger
Nøkkelord: Hooks lov, svingefrekvens, perioden, frekvens og mekaniske pendler
Den generelle fremgangsmåten:
- Sett opp differensialligning for en harmonisk svingning
- Finn en generell løsning av diff-ligningen
- Finn svingefrekvensen ω_0, frekvensen f, og perioden T
Hooks lov
Mer om svingefrekvensen ω_0
Svingefrekvensen ω_0 er relatert til antall svingninger eller perioder som en svingende gjenstand fullfører per tidsenhet. Svingefrekvens (ω_0) er målingen av hvor raskt en svingende gjenstand fullfører en full svingebevegelse. Den er vanligvis målt i radianer per sekund (rad/s).
Det er viktig at man ikke blander vinkelhastigheten ω med svingefrekvensen ω_0.
- Vinkelhastigheten varierer, siden banehastigheten til gjenstanden endrer seg
- Svingefrekvensen endrer seg ikke, den er konstant
Perioden
Perioden er tiden T det tår å fullføre en hel svingning på 2π radianer.
ω_0 · t = ω_0 · T = 2π
T = (2π)/ω_0
Frekvens
Frekvensen f, sier hvor mange hele svingninger gjenstanden gjør per sekund. Enheten for frekvens er Hertz (svingning per sekund)
Mekaniske pendler som svinger harmonisk
Kort oppsummert er de ulike harmoniske svingeningen slik
Fjær med masse
Den enkle pendelen
Den fysiske pendelen
Torsjonspendelen
Her kommer litt nærmere utregning for de som er interesserte.
Den enkle pendelen
Den fysiske pendelen
Dempende svingninger
Nøkkelord: overdempet svingning, kritisk svingning, dempet svingning og kvasifrekvens
Fremgangsmåte:
Vi setter opp differensialligningen og finner de tre løsningsvariantene
- Overdempning
- Kritisk dempning
- Dempet svingninger
Vi skal nå ser litt nærmere på dempende svingninger.
Fra utregningene over vet vi at svingefrekvensen ω_0 er som vist til venstre.
Men rent matematisk representerer dette en kompleks svingefrekvens, som ikke gir mening i praksis.
Derfor finner vi en kvasifrekvens, μ, som tillater oss å ha reelle frekvenser.
Sammenhengen mellom svingefrekvens og kvasifrekvens ser dere også til venstre.
Svingefrekvensen avtar med økende dempningsfaktor b. Svingefrekvensen er maksimal for en harmonisk oscillator.
Bølgeforplantning langs en streng
Nøkkelord: transversale bølger, longitudinale bølger, bølgefunksjon, forplantningsretning, bølgetallet k, bølgehastighet/forplantningsfart, energitransport og effekt
Transversale bølger er en type bølger som beveger seg i en retning som er vinkelrett på retningen av bølgebevegelsen.
Longitudinale bølger er bølger der partikler beveger seg parallelt med retningen av bølgen. Tenk på en fjær som blir sammenklemt og utstrekt.
I transversale bølger beveger partiklene i det medium hvor bølgen beveger seg, seg vinkelrett på retningen av bølgen. Dette betyr at partiklene svinger fra side til side/opp og ned mens bølgen forflytter seg fremover. Det vil være en identisk forflytning vertikalt ut fra x-aksen og alle partiklene bølgen går i gjennom vil bevege seg i samme retning.
En mer matematisk beskrivelse av en én-dimensjonal tranversal bølge som forplanter seg langs en streng:
y_m = Amplituden
y = vertikalt utslag, y(x, t) er bølgefunksjonen
- vilkårlig posisjon x (x er en variabel)
- vilkårlig posisjon t (t er en variabel)
v = bølgas forplantningshastighet = konstant
Forplantningsretning
Bølgetallet k
Bølgehastighet langs ulike materialer med ulik massetetthet
Energitransport langs en streng
Masse-elementet Δm flytter seg en vertikal distanse y når bølgen inntreffer. Masse-elementet Δm1 er festet til Δm2. Δm1 utgjør et mekanisk arbeid W på Δm2, og med det overfører energi til Δm2. ω
Vi sier energien forflyttet seg fra Δm1 til Δm2, noe som gjør at energi ikke går tapt og vi har en formel for energien med svingefrekvens ω_0 og amplituden A:
E = ½(μ · Δx) ω_0² · A²
Effekten P
F_påvirkning er krafta som trengs for å påvirke strengen til å produsere en bølge med svingefrekvens ω_0 og amplitude A, på en streng med massetetthet μ.
Interferens, stående bølger, resonans og lydbølger
Nøkkelord: refleksjon, konstruktiv og destruktiv interferens, stående bølger, node, fundamental bølgelengde, resonans og lydbølger
Interferens
Når to bølger overlapper og kombineres på et gitt område kalles det bølgeinterferens. Under møtet vil amplituden til bølgene legges sammen til resultantamplituden A_T.
A_T = A1 + A2
Konstruktiv interferens
To individuelle bølger har
- samme bølgelengde λ
- samme amplitude A
- samme svingefrekvens ω_0
- samme fase langs horisontal akse
Resultantbølgen
- samme bølgelengde
- samme svingefrekvens
- dobbel amplitude
- samme fasehastighet
Destruktiv interferens
To individuelle bølger har
- samme bølgelengde λ
- samme amplitude A
- samme svingefrekvens ω_0
- bølgene er i motfase: den ene bølgetoppen er over den andres bølgebunn
Resultat: Bølgen utslokkes
Bølge 1
Bølge 2
Interferens
Bølge 1
Bølge 2
Interferens
Formel for interferens
Stående bølger
Når to bølger som går motsatt av hverandre interferer.
Node: punkt som ikke har bevegelse
Antinode: punkt med maksimal bevegelse
Når jeg tenker på en bølge, ser jeg for meg at den beveger seg, altså at bølgetoppen går fra punkt A til punkt B. Hos stående bølger derimot, vil bølgetoppene forbli på samme sted, de beveger seg ikke, derav stående. Bølgene vil gå opp og ned heller enn sidelengs. For å skjønne hvorfor dette skjer, så må vi først forstå refleksjon. Altså når en bølge treffer noe fast, vil den bli reflekter tilbake, men opp-ned. Dette er veldig enkelt å se når man kun sender en bølge (puls) langs en streng, slik som på bilde viser.
Men når man sender en harmonisk bølge, så vil disse overlappe når bølgene begynner å reflekteres tilbake. Som regel vil dette kun skape kaos, men ved noen spesielle frekvenser og bølgelengder, vil dette skape en stående bølge.
Fundamental bølgelengde
2. harmoniske bølgelengde
3. harmoniske bølgelengde
Bølgefunksjonen til stående bølger:
y_tot = y_1 + y_2 = (A sin kx) cos (ωt)
For å finne hvor nodene er plassert bruker vi:
x = nλ/2, der n er nodene.
Bølgefunksjonen til stående bølger:
y_tot = y_1 + y_2 = (A sin kx) cos (ωt)
For å finne hvor nodene er plassert bruker vi:
x = nλ/2, der n er nodene.
Resonans
Resonans refererer til et fenomen der et system blir påvirket av en ytre kraft med en frekvens som matcher systemets naturlige frekvens. Dette fører til en kraftig respons eller vibrasjon i systemet.
Lydbølger
Lydbølger er longitudinale bølger, men har mange av de samme egenskapene som transversale bølger.
Bølgelengde λ: Mellom to posisjoner med samme sammenpresning
Frekvens f : Antallet hele svingninger pr.tidsenhet
Svingefrekvens ω : Antallet hele svingninger a 2p pr. tidsenhet. l l
Periode T : Hvor lang tid det tar å fullføre en full trykkvariasjons-syklus
T = 1/f = 2π/ω
Fasehastighet v : Hvor lang tid det tar å fullføre en full trykkvariasjons-syklus Hvor raskt en trykkbølge forplanter seg.
v = f · λ = λ/T
